Die Wurzeln der symplektischen Geometrie liegen in der Physik, genauer in der Hamiltonschen Formulierung der klassischen Mechanik. Diese führt zum Begriff der symplektischen Form, zunächst auf dem Euklidischen Raum.

Die symplektische Geometrie hinterfragt nun die Existenz einer symplektischen Form auf einer gegebenen Mannigfaltigkeit M. Deren Dimension ist notwendigerweise gerade, sagen wir 2n. Wählt man zusätzlich eine Funktion H auf M erhält man ein dynamisches System - den vom zugehörigen Hamiltonschen Vektorfeld auf M erzeugten Fluss. Die Hamiltonfunktion H ist eine Erhaltungsgrösse dieses Flusses. Gibt es weitere? Die maximale Anzahl ist n, eine Unabhängigkeitsbedingung vorausgesetzt, und in diesem Fall spricht man von einem integrablen System.

Symmetrien des Systems fũhren zu Erhaltungsgrössen (Theorem von Noether). Diese wiederum fũhren zum Begriff der symplektischen Reduktion - durch Quotientenbildung erhält man eine neue symplektische Mannigfaltigkeit kleinerer Dimension.

Ein weit neueres Gebiet der Physik ist die Stringtheorie mit dem Problem der Spiegelsymmetrie. Zentrale Objekte hierbei sind spezielle Lagrange Untermannigfaltigkeiten in ganz speziellen symplektischen Mannigfaltigkeiten - Calabi-Yau Mannigfaltigkeiten. Eine Untermannigfaltigkeit L einer symplektischen Mannigfaltigkeit heisst Lagrange falls die Einschränkung der symplektischen Form identisch verschwindet.


  Im ersten Teil der Vorlesung studieren wir zuerst (spezielle) Lagrange Unterräume und (spezielle) Lagrange Untermannigfaltigkeiten des euklidischen Raumes der Dimension 2n. Anhand von zahlreichen Beispielen erschliessen wir die Begriffe. Anschliessend behandeln wir den Fall in welchem der euklidische Raum durch eine symplektische Mannigfaltigkeit ersetzt ist.

  Der zweite Teil der Vorlesung ist über Hamiltonsche Geometrie. Im Rahmen der verbleibenden Zeit behandeln wir folgende Themen: Integrable Systeme, Wirkung kompakter Liegruppen, Hamiltonsche Gruppenwirkungen, Momentenabbildung, Konvexität, symplektische Reduktion, torische symplektische Mannigfaltigkeiten.



Literatur

 * Audin, Cannas da Silva, Lerman, Symplectic Geometry of Integrable Hamiltonian Systems, Birkhäuser 2003
   (The part written by Cannas da Silva is available here)
 * Cieliebak, Symplectic Geometry, Part A 2004, Part B 2001
 * Cannas da Silva, Symplectic Geometry, 2004
 * Cannas da Silva, Lectures on Symplectic Geometry, 2006
 * McDuff, Salamon, Introduction to Symplectic Topology, Second Edition, Oxford University Press 1999
 * Arnold, Mathematical methods of classical mechanics, Graduate Texts in Math., Vol. 60, Springer-Verlag 1978


Die Vorlesung richtet sich an Studierende am Ende des Grundstudiums oder im Hauptstudium.
Voraussetzungen: Lineare Algebra, Begriff der Mannigfaltigkeit, gewöhnliche Differentialgleichungen.
Upon request the lectures can be given in english.
Beginn: DI, 14. Oktober 2008, 15-17,  RUD25 1.115